"God ever geometrizes." — Plato
다각형과 원, 그리고 그것을 떠받쳐 입체로 빚어낸 우주. 평면에서 공간으로 나아가는 도형의 여행.
"세계는 왜 동그랗고, 왜 모나고, 왜 솟아 있을까?" — 다각형과 원의 평면 위 약속, 그리고 입체로 일어선 도형의 부피와 겉넓이까지.
앞 단원에서 점·선·각·합동의 기본 원리를 배웠다면, 이번 단원에서는 그 원리로 빚어낸 실제 도형을 다룹니다. 다각형의 내각·외각이 가진 놀라운 규칙, 원과 부채꼴이 만들어 내는 호의 길이와 넓이, 그리고 평면이 일어서서 만들어지는 다면체·회전체의 세계.
고대 그리스에서 플라톤은 우주가 다섯 개의 정다면체로 이루어져 있다고 보았습니다. 정사면체는 불, 정육면체는 흙, 정팔면체는 공기, 정이십면체는 물, 정십이면체는 우주 그 자체. 입체도형은 단순한 형태가 아니라 "세계를 이해하는 언어"였습니다.
삼각형·다각형의 내각과 외각의 합, 대각선의 개수, 정다각형의 한 내각의 크기까지.
호의 길이와 넓이, 중심각과의 비례 관계, 부채꼴의 넓이를 구하는 두 가지 식.
각기둥·각뿔·정다면체와 회전체의 분류, 단면의 모양, 면·모서리·꼭짓점의 관계.
기둥·뿔·구의 겉넓이와 부피를 구하는 식, 그리고 그 식이 만들어진 기하적 이유.
고대 그리스의 철학자 플라톤은 그의 저서 티마이오스(Timaeus)에서 우주가 다섯 개의 정다면체로 이루어져 있다고 주장했습니다. 정사면체는 불, 정육면체는 흙, 정팔면체는 공기, 정이십면체는 물, 그리고 정십이면체는 천상의 세계를 상징했습니다.
"기하학을 모르는 자는 이곳에 들지 말라." — 아카데메이아 입구에 새겨진 글
이 다섯 개의 정다면체는 오늘날 플라톤의 입체(Platonic solids)라 불립니다. 놀라운 사실은, 모든 면이 합동인 정다각형이고 모든 꼭짓점에서 같은 수의 면이 만나는 입체가 이 다섯 개뿐이라는 것을 유클리드가 원론의 마지막 권에서 증명했다는 점입니다.
평면 위의 도형부터 익히고, 그 평면이 일어서서 만드는 입체의 세계로 나아갑니다.
"왜 정육각형은 빈틈없이 채워질까?" 다각형의 내각·외각의 합, 대각선의 개수, 원과 부채꼴의 호의 길이와 넓이까지.
"평면이 일어서면 무엇이 되는가?" 다면체와 정다면체의 종류, 회전체와 단면, 기둥·뿔·구의 겉넓이와 부피까지.